我们来谈谈比例

这是很早之前的一次学科讨论活动过的记录

首先我们思考一些问题

1. 还记的比例的基本性质吗？无论你是否能够很快的回顾起来，现在请画一个三角形，用一条和底边平行的直线切割这个三角形，然后利用相似三角形的原理分析其中的边角关系，然后分析其中的比例关系，它们便是比例的基本性质。

2. 回忆化学中学过的物质的量的相关运算，你能运用上面回顾的比例的基本性质推导一些结论吗？请将分析过程截图。

3. 你还记得弧度制的定义吗？我们规定“在同圆或等圆中，弧长等于半径长的圆心角所对应的弧度数为1弧度”，仔细思考你今天所熟练运用的弧度制运算，你能明白这样规定的好处吗？圆周率π是周长和直径的比值，弧度是弧长和半径的比值，你能发现这之间的联系吗？

4. 联系问题2，和问题3，你能彻底明白将碳原子的微粒数为基准来衡量其它物质的微粒数的“物质的量”的定义吗？

5. 请自己编写一个关于比例和实际生活的思考题。

比例

物质的量

【物质的量】

我们的课本里有这样的公式：

物质的量
= 物质的实际质量 ÷ 物质的摩尔质量
= 气体的实际体积 ÷ 气体的摩尔体积
= 溶液体积 * 溶液里溶质的物质的量浓度

那么问题来了，物质的量究竟是什么呢？

还记得以前学过的比例尺吗？在地图上经常见到。因为地面实际的距离实在是太大了，我们不可能按1比1画出地图，所以我们要将实际距离按照一定比例缩小，这样，

比例尺 = 图上距离 : 实际距离。

而在研究化学问题的时候我们也遇到了同样的问题，微观粒子实在是太小小了，这样会导致测量一个粒子的质量、体积造成很大的困难 【测量困难】 ，而它们的数目又特别特别多，给数字表示上面带来了极大的不便 【表示困难】 。

首先，我们解决 测量困难 的问题：

一个粒子测量困难怎么办呢？我们抓“一大把”测量不就好了吗？那到底要抓多少呢？人们约定，采用原子C12中所含的微粒数作为这“一大把”的具体数值，它的数量是6.02*(10^23)，我们将这个数值用符号NA表示。这样我们就解决了测量困难的问题啦。

那么接着， 表示困难 怎么解决呢？

这还不简单，我们采用类似比例尺的思路来借助NA来衡量其它物质的微粒数不就好啦？

于是我们有了一个新的比例尺：

比例尺（缩放系数） =  缩放后的微粒数 : 实际微粒数

为了方便表示，我们为按比例尺缩放后的微粒数提供一个单位，叫做 摩尔 （mol），同时规定这个缩放后的微粒数叫我们所要研究的物质的” 物质的量 ”。所以所谓的物质的量， 实际上就是物质的实际微粒数在经过比例尺缩放后的，缩放的微粒数 。

这样，我们只要能够测量出这“ 一大把 ”微粒数（1mol）物质的质量，那么按照比例尺缩放回去， 物质的实际的质量 不也就知道了吗？

实际上伟大的科学家大大都帮我们测量到啦！

打开化学课本的元素周期表，里面的元素对应的相对原子质量，其实就是经过我们的“比例尺”将实际质量缩放后而得到，也就是1mol的物质的质量。

所以我们的可爱的课本上有这样的说法：1mol的物质的质量，在以克为单位的时候，数值上和该物质的相对原子质量相等。所谓的“相对”，实际上就是相对C12的微粒数，也就是相对NA——我们的“比例尺”，缩放得到滴。

接着气体的体积相对于固态物质而言的测量要简单的多，因为气体内部的微粒间隔大，体积实际上不受具体物质类型的影响，只受温度和压强的影响，所以科学家们测得在0摄氏度，101千帕的标准大气压下，1mol（NA数量）的气体所具有的体积是22.4升，我们将它称为“气体摩尔体积”。还有在25摄氏度，101千帕的大气压下，1mol的气体所具有的体积是24.8升。记作：22.4L/mol和24.8L/mol。

关于浓度，用类似的思路理解应该也不困难滴。

由上面推导的等比定理，我们有：

  (物质的实际质量 + 物质的实际体积)
÷(物质的摩尔质量 + 物质的摩尔体积)
= NA

根据合分比定理，我们有
   (物质的实际质量 + 物质的摩尔质量) ÷ (物质的摩尔质量-物质的摩尔质量)
= (物质的实际体积 + 物质的摩尔体积) ÷ (物质的实际体积 - 物质的摩尔体积)
类似还可以推导一些，或许它们没有什么实际意义，但是利用方程的思想，可以帮我们再解题的时候简化一些步骤哦。最重要的是拓展思维嗯。

对“单位”的再认识

也许有很多朋友意识到了，特别是在物理和化学等学科上，单位同样可以看成是代数并参与代数运算，比如解决这样的一道物理题：

一块岩石突然松动从峭壁顶上掉下来，求掉下来了的头2秒中岩石的平均速度。
（一块致密的固体在地球表面附近从静止状态自由落下，下落的头t秒中下落英尺数为：$$ y=16t^{2} $$）

设$$ y=f(x) $$

我们有：
$$ 平均速度 = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = 32 英尺/秒$$

思考：此时我们如果突然希望将其换算成米/分钟，还需要回去将2秒化为分钟，再将函数$$f(x)$$里的英尺化为米，然后重新算一遍吗？

实际上，按照我们之前的理论，单位也是代数式，同样可以参与运算，由于我们知道：
$$1英尺 = 0.3米$$
$$1秒 = \frac{1}{60}分钟$$
于是
$$\frac{1英尺}{1秒} = \frac{0.3米}{\frac{1}{60}分钟}$$
将其带入等式即可：

因为：
$$g(x) = 32\times\frac{1英尺}{1秒} = 32 \times \frac{0.3米}{\frac{1}{60}分钟}$$
所以，整理得：
$$g(x) = \frac{32\times3}{\frac{1}{6}}\frac{米}{分钟} = 576米/分钟$$

好。实际上如果把它们看成了代数式，还可以参与更加复杂等式变换运算。所以在式子变换过程中保留单位是有意的。但是，为什么单位可以看成代数式呢？

我们看下面这个简单的例子：
假如有10颗葡萄，我们是否可以用$$10x$$表示，其中$$x$$表示1颗葡萄？
答案是肯定的。
那么，其中$$x = 1颗葡萄$$
于是$$10x = 10 \times 1颗葡萄 = 10颗葡萄$$
我们省略去中文表述中的一些细节，可以有
$$10x = 10颗$$ （葡萄）
同理，把单位都看成自变量，有
$$5x = 5米$$
$$5x = 5分钟$$
即$$x = 某单位$$
所以单位就等同于代数式，可以参与代数运算。

两个基本原理与排列组合

某部门从 8 名员工中选派 4 人参加培训，其中 2 人参加计算机培训，1 人参加英语培训，1 人参加财务培训，问不同的选法有多少种？

从小问题开始

我们思考第一个小问题，从 8 个人里面选两个 2 参加计算机培训，解决这个问题分为 2 个步骤：
第一步，先选第一个人，有 8 种选法
第二步，从剩下的（8-1）=7 个人里面选第二个人，有 7 种选法

列树状图很容易理解，树状图第一列是 1 到 8 号，第二列在第一列的基础上，每排选剩下的 7 号 那么两步能够完成这件事的总情况数自然是 8x7=56 种 即 C8-2

联系推广到整个大问题

根据上面的思维方式思考整个大问题，从 8 个人里面选出 4 人参加培训，解决这个问题分为 3 个步骤： 第一步，先从中选 2 两个人参加计算机培训，有 C8-2 种选法（解法即上面的思考） 完成这步又可以细分为 2 个步骤，上面已经给出思考方法

第二步，从剩下的（8-2）=6 个人里面选 1 个人参加英语培训，有 C6-1 种选法 完成这个步骤仅需要一个步骤，即 6 个人中选一个人，有 6 种选法

第三部，从剩下的（6-1）=5 个人里面选 1 个人参加财务培训，有 C5-1 种选法 完成这步也只需要一个步骤，即从 5 个人中选一个人，5 种选法

每一步的选法都是在上一步选法的基础上（依然思考树状图的结构，第一步有 C-2 种选法，对这些选法的每一种情况分叉，每个分叉又有 C-5 种选法……以此类推） 为什么用乘？求树状图的所有分叉总数难道第一列第二列第三列，不是乘法嘛。

所以完成这件事的总情况数，是上面三个步骤相乘的结果 即 C8-2 x C6-1 x C5-1。

我们可以总结出来：

乘法原理

如果完成一件事有 N 个步骤，那么完成这件事需要的总情况数一定是每个步骤的情况数相乘

另外还有

加法原理

如果完成一件事有 N 类方法，每种方法都可以独立完成这件事，那么所需要的情况数一定是每个情况数相加。

联合使用两个原理

如果完成一件事有 N 类方法，每种方法又都能够分为 M 个步骤，那么完成这件事需要

第一类方法情况数 + 第二类方法情况数 +...+ 第 N 类方法情况数 =(第一类方法的第一步情况数 x 第一类方法的第二步 x ...第一类方法的第 M 步) + (第二类方法的第一步情况数 x 第二类方法的第二步 x ...第二类方法的第 M 步)+...

我们再来拓展思考排列和组合的概念

排列的概念

从 N 个元素中选择 M 个元素排成一列可能发生的情况数一定是： 第一步，选 M 个元素的第一个，有 N 种选法 第二步，选 M 个元素的第二个，有 N-1 种选法 …… 一共有几步呢，每一步选一个元素，选 M 个元素，自然有 M 步

第 M 步，选 M 个元素的第 M 个，有 N-M+1 种选法。

于是所有的情况数根据乘法原理：N*(N-1)(N-2)...(N-M+1) 记作 Cn-m，排列数。

组合的概念

从 N 个元素中选择 M 个元素，但是不要排列（不管顺序，即 ABC 和 CBA 和 BAC 不算三种只算一种）可能发生的情况数一定是：

== 停 ==

我们先思考排列，从 N 个元素选择 M 个元素排成一列 (Cn-m) 还可以这样完成：

第一步，从 N 个元素中选 M 个元素，选法设为 x 第二步，对这 M 个元素元素排队，分为 M 个步骤， 第一步选第一个元素，M 种选法， 第二步选第二个元素 M-1 种选法…… 那么有 M*(M-1)(M-2)...1 种情况，即 Cm-m 种，

那么根据方程的思想和乘法原理，我们可以列方程 Cn-m = x * (Cm-m) 如果我们把 x 记作 A(n-m) 的话，可以解得 x = Cn-m ÷ Cm-m 即是组合数 An-m。

我们可以将组合数理解为排列去掉了顺序（除掉了顺序）以后的结果。