喵宅苑2023年9月签到

开学啦，一起来学一点小学数学吧

数学小课堂

微积分，充其量是和小学算数一样的一套新的加减乘除法则
就像过去学乘法口诀和其他算数法则的方法一样，我们不要问为什么要这么算，而是直接把它记下来

首先是新的求导运算符
求导的符号是撇，例如，(x)'表示x的导数

然后是运算符的计算法则，即求导公式，先别管有啥用，背下来再说~

和的导数是导数的和，差的导数是导数的差
积的导数乘法变加法，是被乘数和乘数轮流求导的积的和 (a*b)' = a'b + ab'
商的导数是除法变减法，是分子分母先后轮流求导的积的差，再乘上分母平方的倒数 (a/b)' = (a'b-ab') / b²
复合函数的求导是从外到内依次求导的积 f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x)

关于函数f(x)的自变量可能产生歧义的地方：
如果看到y = f(x)=某个代数式，这种式子，说明是函数的定义式，这里的x是自变量
如果看到f带着括号，前后不跟任何东西，例如f(3)或f(5)或f(g(x))，说明这个函数在做求值运算，是将括号里的值带入到函数的定义式中的自变量处求得出的结果
[f(g(x))]' 的意思是先求值再求导，将g(x)带入f的自变量后得出新的表达式，再对新表达式求导数
f'(g(x)) 的意思是先求导再求值，对函数f求处导函数，再将g(x)带入导函数的自变量里求值
通常函数的定义式和函数的求值总是成对的，先有定义后有求值，但是很多情况下如果不体现出具体函数表达式，可以省略定义式，那么我们看到的所有的带括号的式子都代表求值
g(x),f(x),g(3),f(3x)等等，方便理解，我们可以想象一个定义式例如g(w) = w + 2字母叫什么无所谓，但是定义式出的括号里的东西是自变量。
g(x) 表示将x带入w+2，得g(x) = x +2
g(3) 表示将3带入w+2 得g(3) = 3 + 2 = 5

所以不会有这样的定义式：
g(2w) = 2w + 2，也就是定义式的自变量处只能是自变量自己，不会出现自变量的运算
只会有g(2w)的求值式

但是多个自变量是允许的，用逗号隔开，例如
g(x,y) = 2x + 2y
那么求值：
g(1,5) = 21 + 25
g(f(x),u(w)) = 2f(x) +2u(w)

这里的逻辑和计算机程序的函数定义是一致的

常见函数的导数

有了求导的加减乘除法则，我们在背一下常见函数的导数，就可以做求导运算啦

常数的导数是0
x的n次方的导数是x的n减1次方的n倍
sin(x)的导数是cos(x)
cos(x)的导数是负sin(x)
tan(x)的导数是sin(x)除以cos(x)的导数，根据除法法则得结果
sec(x) csc(x) cot(x)分别是cos,sin,tan的倒数，同样根据除法法则得结果
a的x次方的导数是a的x次方乘ln a
log以a为底x的对数的导数是x的倒数除以lna

好啦，背完了吗，有了这些后面就比较畅通啦。

微积分的方程

【等式性质的补充】
等式两边同时求导、积分，等式仍然成立

【微分和积分运算符】
微分的运算符是d （division，除法，平均分）
积分的运算符是s （sum，求和）
求导的运算符是撇'

你肯定会疑惑，微积分关求导什么事儿？
因为有趣的事是，求导和积分互为逆运算（不是微分和积分互逆哦），而导数是微分除法后商（下面介绍）

值得一提的是，微分运算符和求导运算符是作用于函数（代数）的，而不是像小学一样是针对数字的

【求导数和求积分互为逆运算】
例如：
x的n次方的导数是n乘x的n-1次方
反过来
n乘x的n-1次方的积分是x的n次方，再加一个常数（因为常数的导数是0）
好了，这样一来，积分的运算就通过求导运算学废了，上面没有白背吧

那么，一个函数，先求导再积分，还是它本身，不过再加一个常数

【微分和导数的关系】
对一个函数求导数，实际上相当于求这个函数任意点的切线斜率的函数
我们知道割线的斜率是△y/△x
那么切线就是△x趋近于0的时候的情况，记作dx，同时也把△y改成dy
所以对于函数y=f(x)求导
[f(x)]' = df(x)/dx = dy/dx
如果把这个结果记作f'(x)或g(x)的话，我们尝试用积分倒回去
即dy/dx = f'(x)
那么，两边同时乘dx
dy = f'(x) * dx
此时我们要求出y，也就是原来的函数，也就是我们要发明一种新符号把dy变成y，因为d这个运算符是新规定的，还没有倒回去运算的符号，所以我们用了积分符号s，即
s dy = y
但是通常情况下，我们知道的并不是dy，而是g(x)即f'(x)
所以会变成
s f'(x)*dx = y 或
s g(x)*dx = y

所以我们如果对函数g(x)求积分，记作
s g(x)*dx 最后面要乘一个dx

好啦，本次就到这里，学废了吗？